Φ_h как угловой размер гало

Принимая во внимание, что реальный угловой размер гало на поверхности тест-объекта может отличаться от Φ_h (поскольку наблюдение ведется через систему отверстие+СПЭ), мы, тем не менее, полагаем, что величина Φ_h применима в качестве количественной меры углового размера гало.

Первое слагаемое в (1.5) описывает геометрически неискаженную интенсивность сигнала, прошедшего через СПЭ туда и обратно. Второе слагаемое описывает интенсивность волн, рассеянных краями (границами) непрозрачных ячеек СПЭ. По сути, выражение (1.5) является развитием представления о граничной дифракционной волне для описания диффузного гало (см. [3] и Приложение 3). В случае отверстий на СПЭ представление о граничной дифракционной волне справедливо, так как гало формируется краями отверстий. Следовательно, можно ожидать, что угловой размер гало для отверстий и для дисков будет одинаков. Этот вывод согласуется с принципом Бабине, согласно которому суммарное поле, создаваемое при дифракции пучка на СПЭ и его негативе равно полю без СПЭ (гало отсутствует).

Возможен и другой способ описания диффузного гало. Вероятность поглощения q=1-p в (1.5) можно заменить на вероятность экстинкции q_e: q_e>q (см. [4] и Приложение 4). Определяемый размер гало будет различным при использовании коэффициентов поглощения и экстинкции. Тем не менее, в обоих случаях параметр Φ_h может быть выбран в качестве количественной меры углового размера гало.

В некоторых случаях угловой размер гало может быть определен параметром l_g (см. Приложение 5).

Поскольку все ячейки СПЭ рассеивают пучок независимо друг от друга, то с увеличением поверхностной плотности ячеек интенсивность гало увеличивается линейно, а его угловой размер не меняется. С увеличением поперечного размера ячеек угловой размер гало уменьшается, так как уменьшается угол дифракции на отдельной ячейке. Следовательно, величина Φ_h является индикатором поперечных размеров непрозрачных ячеек СПЭ.

Рассмотрим вопрос о связи между угловыми размерами диффузного гало от зондирующего пучка с Φ₀ и Φ₀=0 (приближение плоской волны). Чем меньше размеры непрозрачных ячеек СПЭ, тем больше угловой размер диффузного гало. С увеличением размера ячеек угловой размер гало стремится к угловому размеру зондирующего пучка. Следовательно, угол Φ_h можно выразить через угол рассеяния для плоской волны Φ_sp как (см. [А8])

Φ_h²=Φ₀²+Φ_sp² откуда получаем Φ_sp=[Φ_h²-Φ₀²]^1/2 . (1.9)

Здесь Φ_h, Φ₀ введенные ранее параметры. Видно, что если размеры ячейки велики (Φ_sp<<Φ₀), то Φ_h=Φ₀. Если размеры ячейки малы (Φ_sp>>Φ₀), то Φ_h=Φ_sp. Если радиальное распределение негатива внутри непрозрачной ячейки СПЭ Гауссово, то геометрия зондирующего пучка и диффузного гало описываются Гауссовым распределением. В этом случае выражение (1.9) вытекает из свойств Гауссовых распределений. Если непрозрачные ячейки СПЭ имеют резкие края, то найденный из (1.9) угловой размер Φ_sp и реальный связаны между собой некоторым коэффициентом, который может слабо зависеть от размера непрозрачных ячеек и радиального распределения негатива внутри них (см. [A8]).

Угол Φ_sp=Φ₀ может быть выбран в качестве оптимального угла для измерений, тогда Φ_h=1.4 Φ₀. Действительно, Φ_sp>> Φ₀ означает Φ_h=Φ_sp и z/l_h>>z/l. Второе слагаемое в (1.5) много меньше первого и погрешность Φ_h значительно возрастает. Если Φ_sp<<Φ₀, то Φ_h мало отличается от Φ₀, и погрешность Φ_sp из (1.9) будет велика.

Поперечному размеру непрозрачной ячейки d_c и поверхностной плотности ячеек на СПЭ n_c сопоставим комбинацию измеряемых величин Φ_sp и р посредством коэффициентов С₃ и С₄ как

d_c =C₃λ/Φ_sp, и n_c=C₄(1-p)/d_c² . (1.10)

Здесь p, d_c, n_c введенные ранее параметры для СПЭ, λ – длина волны, C₃ и C₄ – калибровочные коэффициенты. Коэффициенты C₃ и C₄ могут быть измерены путем микрофизической калибровки по стандартному СПЭ. Этот экран должен иметь известные значения поверхностной плотности и поперечного размера непрозрачных ячеек.

Отметим возможное существование промежуточных калибровочных коэффициентов (см. [A8]) С₁ (индикатор параксиального приближения) и С₂ (индикатор периодичности расположения ячеек на экране (см. Приложение 6)).

Оптимальные для измерений размеры ячеек находятся в окрестности d_op=λ/Φ₀. Если размеры ячеек d_c>>d_op, то угловой размер гало Φ_h практически равен угловому размеру пучка Φ₀ и определяемый из (1.9) угол Φ_sp имеет большую погрешность. В случае размеров ячеек d_op>>d_c второе слагаемое в (1.5) много меньше первого (из-за того, что l>>l_h) и погрешность определения углового размера гало Φ_h возрастает.

Для ячеек, размеры которых отличаются друг от друга, первое выражение (1.10) для d_c определяет эффективный размер, а второе для n_c определяет эффективную поверхностную плотность непрозрачных ячеек на СПЭ.

При измерении параметров l_g и p любой моделью ОПС необходимо соблюдать следующие условия:

у1. Угол падения зондирующего пучка на поверхность тест-объекта должен сохраняться при изменениях расстояния z

у2. Рассеивающие свойства всей поверхности тест-объекта одинаковы и не должны меняться за время измерений

у3. Пучок должен находиться внутри поверхности тест-объекта.

Рисунок 2.1 Двухпозиционная схема с двумя раздельными оптическими осями (ДПС(2)). RTS (random transmission screen) - СПЭ, test-object - тест объект.

Ранее была рассмотрена двухпозиционная схема с двумя раздельными оптическими осями (ДПС(2)) (см. [А6]). Нижней частью ДПС(2), (см. рис. 2.1) является ИС. Верхняя часть представляет собой дополнительный (второй) приемный канал. Дополнительный приемный канал изолирован от основного темной непрозрачной бесконечно тонкой перегородкой ω(x;z). Расстояние между оптическими осями приемных каналов R велико R>>2a. Тогда внесение горизонтальной перегородки не будет искажать полей зрения приемных каналов и геометрию зондирующего пучка. Функция пропускания (1.1) одинакова для всех отверстий. Плоскость наблюдения находится на расстоянии l от отверстия, и этот же параметр описывает убывание сигнала с дистанцией (см. рис. 2.1). На расстоянии z от отверстия находится плоскость тест-объекта (см. рис. 2.1).

Зависимость отношения сигналов Π(R;z/l)=I(R)/I(O) от дистанции z мы назовем локальной калибровкой (ЛК) ДПС(2). Для получения данных ЛК выполнения условия у1 не требуется, поскольку поверхность тест-объекта может не сохранять ориентацию к направлению пучка на разных дистанциях z.

Благодаря отверстиям с функцией пропускания (1.1) у ДПС(2), в пределе геометрической оптики получен явный вид ЛК ( см. [А6])

Π(R;z/l)=I(R)/I(0)=exp(-R²/{4a²(1+z/l)²}). (2.1)

Здесь a, z, l, R, I(0) введенные ранее параметры, I(R)- сигнал в точке R. На любой дистанции ЛК представляет собой нормированную двумерную свертку функции размытия точки для основного и дополнительного приемных каналов или геометрический форм-фактор [1]. В общем случае геометрический форм-фактор является количественной характеристикой перекрытия поля зрения приемного канала и зондирующего пучка. С увеличением z перекрытие поля зрения с зондирующим пучком увеличивается, и геометрический форм-фактор стремится к 1. При R=0 поле зрения совпадает с геометрией пучка, и геометрический форм-фактор равен 1 на всех дистанциях (см. ИС). Отметим, что перекрытие поля зрения и зондирующего пучка практически всегда существует даже при наличии отверстия с резкой границей, а так же при нарушении параксиального приближения.

Измерение параметров p и l_g моделью ДПС(2)

Из (2.1) вытекает общий вид трассовой зависимости сигнала обратного рассеяния от поверхности тест-объекта без СПЭ

I(R;z/l) = I₀Π(R;z/l)/(1+z/l)². (2.2)

Здесь I(R;z/l), I₀, Π(R;z/l), z, l введенные ранее параметры. При R=0 мы получаем (1.2).

Пусть СПЭ перекрывает оба отверстия ДПС(2). Вокруг пучка появляется гало. При этом, для ИС убывание сигнала с дистанцией становится быстрее, и для его описания достаточно замены параметра l на l_g <l в выражении (1.2). Поскольку сигнал I(R;z/l) и отношение двух сигналов Π(R;z/l) в отсутствии СПЭ зависят от безразмерного параметра 1+z/l, то при наличии СПЭ отношение сигналов будет зависеть от 1+z/l_g.

Фактически, это означает, что установка СПЭ приводит к увеличению поля зрения дополнительного приемного канала и зондирующего пучка, и как следствие, к увеличению их геометрического форм-фактора. С другой стороны одновременное увеличение углового размера пучка и полей зрения приемных каналов приводит к более быстрому убыванию сигнала с дистанцией. Следовательно, параметр l_g можно определить только по изменениям геометрического форм-фактора.

Действительно, после установки СПЭ отношение сигналов увеличилось до Π(R;z/l_g). Из ЛК данных этому отношению всегда можно сопоставить некоторую дистанцию z_g на основе равенства (см. [ A6])

Π(R;z/l_g )=Π(R;z_g /l) . (2.3)

Здесь z_g - дистанция, найденная из нового отношения интенсивностей Π(R;z/l_g). Поскольку l_g<l, то Π(R;z/l_g)>Π(R;z/l), следовательно, z_g>z.

Определение параметра l_g посредством использования данных ЛК представлено на рисунке 2.2. Для численных расчетов принято R=8a.

Рисунок 2.2 Иллюстрация способа измерения параметра l_g моделью ДПС(2).

Пример 2.1 Используются символы z, l, R, Π(R;z), z_g, l_g.

Кривая 1 представляет собой ЛК данные для ДПС(2) с параметром l. Пусть дистанция z=3l и Π(R;z=3l)=0.368. Пусть СПЭ установлен вблизи плоскости отверстия (см. Замечание 2). Отношение интенсивностей сигналов от тест-объекта Π_s(R;z/l) увеличивается до 0.492, кривая 1 дает дистанцию z_g=3.75l для нового отношения интенсивностей Π(R;z_g/l). Мы имеем следующую пропорцию z_g/l=z/l_g=0.8. Следовательно, дистанция z_g определяется посредством ЛК данных.

Таким образом, если для определения параметра l_g посредством ИС необходимо найти сигналы на разных дистанциях от тест-объекта (см. Ш1 и Приложение 2), то при наличии второго приемного канала параметр l_g можно найти по отношению сигналов только из результатов ЛК. При измерениях ЛК можно использовать рассеивающие поверхности любых топографических объектов, имеющих различную ориентацию к направлению пучка.

Вероятность пропускания р дается выражением (1.4), которое с учетом данных ЛК перепишется в виде

p=(I_s(z)/I₀)^1/2(1+z_g/l)(1+z/l)^-1. (2.4)

Здесь параметры p, I_s(z), I₀ , l, z_g, z введены ранее.

Определение углового размера гало Φ_h

Выражение (2.3) применимо и для диффузного гало с использованием пропорции z_h/l=z/l_h. Тогда уравнение (1.5) переписывается как

(1+Z_g)^-2=p²(1+Z)^-2+(1-p²)(1+Z_h)^-2 . (2.5)

Большими буквами Z_g, Z, Z_h обозначены отношения z_g/l, z/l, z_h/l. Неизвестным параметром является Z_h.

При наличии Z_g и p из (2.5) находим дистанцию Z_h

Z_h={(1-p²)/[(1+Z_g)^-2-p²(1+Z)^-2]}^1/2-1 . (2.6)

Угловой размер диффузного гало дается через Z_h как

Φ_h=g_hΦ₀=Φ₀Z_h/Z, где g_h=z_h/z=Z_h/Z . (2.7)

Здесь параметры p, Z_g, Z, Φ_h, Φ₀, z_h, z введены ранее, g_h – коэффициент углового размера (увеличения) диффузного гало.

Пример 2.2. Используются символы Φ₀, λ, S, d_op, С₁, С₂, С₃, С₄, z_g, z_h, Φ_h, Φ_sp, d_c, n_c.

Рассмотрим параметры типичные для приемного и передающего каналов лидара: Φ₀=1 мрад, λ=0.5 мкм, площадь апертуры S=πa²=10 см². Следовательно, d_op=λ/Φ₀=0.5 мм. Для оценки примем С₁=С₂=С₃=С₄=1. Параметр продольного масштаба убывания сигнала l=150 м. Дистанция между ДПС(2) и поверхностью объекта составляет 300 м.

Пусть рассеянный назад поверхностью тест-объекта свет создает для максимальной амплитуды в первом приемном канале N(R=0)=0.6 10⁶ фотоотсчетов, и N(R=0)=10⁶ фотоотсчетов с и без СПЭ соответственно. Дистанция z_g, измеренная по данным ЛК, составила 360 м. Условие (1.7) справедливо. Уравнение (2.4) дает значение коэффициента пропускания р=0.88. Из уравнения (2.6) мы найдем, что z_h=3000 м; в этом случае ошибка в измерении параметров z_g, p, N₀ должна быть на уровне 0.1%. Уравнение (1.9) дает Φ_h=Φ_sp=10Φ₀. Затем из уравнения (1.10) мы находим d_c=50 мкм. Окончательно, из (1.10) получаем поверхностную плотность ячеек n_c=4800 ячеек/см². Число ячеек, покрывающих апертуру передающего канала, составляет 4.8 10⁴.

Рисунок 3.1 Взаимное расположение ДПС(2) и СПЭ. На рисунке RTS(random transmission screen)-СПЭ, Layer-слой, TPS(2)(two position scheem)-ДПС(2).

Допустим, СПЭ расположен на дистанции v (variable) от плоскости отверстия ДПС(2) (см. рис. 3.1). Если сделать замену Z_h на Z_hv, то уравнение (2.5) будет по-прежнему справедливо (см. [А9]). Однако, измеряемый угловой размер гало Φ_hv будет зависеть от расстояния до СПЭ и даваться выражением (2.7):

Φ_hv= Φ₀ ·Z_hv/Z= Φ₀· z_hv/z. (3.1)

выражение (2.5) перепишется как

Таким образом, метод измерения микрофизических параметров среды основан на реализации калибровок двух категорий:

С увеличением расстояния до слоя оптимальный для измерений размер частиц уменьшается.

Восстановленные микрофизические параметры рассеивающих частиц (см 1.10 и 3.9) и их погрешности относятся к эффективному СПЭ (эффективной среде), содержащему непрозрачные темные ячейки, которые производят такое же искажение и ослабление пучка, как и исследуемая среда.

Следовательно, на основе ДПС может быть реализован инструментальный метод дистанционного измерения микрофизических параметров среды, поскольку выполняются признаки им1, им2, им3.

П1. Измерение угловых искажений пучка для различных фазовых экранов. Для этих измерений нужны только данные локальных калибровок. Схема эксперимента представлена на рисунке 2.1 измеряемыми параметрами являются сигналы обратного рассеяния от поверхности объекта при наличии экрана и без него. Возможные применения

- количественный контроль (по Φ_g) качества изготовления стеклянных и зеркальных поверхностей.

П2. Определение эффективного размера и поверхностной плотности частиц на зеркальных или прозрачных экранах. Эти измерения требуют данных локальных калибровок и микрофизической калибровки. В такой схеме (см. рис. 2.1) измеряемыми параметрами являются сигналы обратного рассеяния от поверхности тест-объекта с экраном и без него.

- измерение эффективного размера и поверхностной плотности пылевых частиц. Размеры частиц должны быть достаточно велики d>>λ.

П3. Измерение эффективного размера и концентрации частиц в некотором объеме. Эти измерения требуют данных локальной и микрофизической калибровок. Схема измерений представлена на рисунке 3.1. Измеряемыми параметрами являются сигнал обратного рассеяния от поверхности тест-объекта при наличии и без облака рассеивающих частиц. Возможные применения

• измерения эффективного размера и концентрации аэрозоля в виде дождя, снега и тумана,
• измерения эффективного размера и концентрации частиц в городских условиях, а также в шлейфах.

P.S. возможны и другие применения локальных калибровок.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука. 1973. 720 с.

A1*. А. В. Бухарин, С. М. Першин, " Теоретическое рассмотрение лидара обратного рассеяния с безопасным для глаз уровнем излучения", Оптика атмосферы и океана, 1994, Том 7, №4, стр 521-537.

A2*. С. М. Першин, А. В. Бухарин, и др., "Калибровка аэрозольного лидара с квантовым счетчиком и регистрация атмосферных неоднородностей", Оптика атмосферы и океана, 1994, Том 7, №4, стр 538-547.

A3*. С. М. Першин, А. В. Бухарин и др., "Пространственно временной профиль аэрозольного загрязнения над Волгой", Оптика атмосферы и океана, 1994, Том 7, №4, стр 548-555.

Приложение 1. Для лидаров, вместо (1.2), используется зависимость другого вида (см. [1])

I(z)/I₀=A(z)O(z)/z², (п1.1)

Здесь параметры I(z), z, I₀ введены ранее, О(z) – геометрический форм-фактор поля зрения и зондирующего пучка, А(z) – эффективная апертура передающего канала. Эта зависимость применяется для неидеальных схем.

Для ИС О(z)=1 и (п1.1) преобразуется к виду

I(z)/I₀= A(z)/z². (п1.2)

Продольный масштаб убывания сигнала l в выражения (п1.1) и (п1.2) не входит. Как следствие, этот параметр не используется в лидарном уравнении.

Отношение измеряемых сигналов на двух дистанциях от тест-объекта z₁, z₂ при наличии СПЭ находим из (1.3)

I_s(z₁)/I _s(z₂)=(1+z₂/l_g)²(1+z₁/l_g)^-2 (п2.1)

Здесь все величины известны кроме l_g. В результате получаем

l_g =( z₁ (I_s(z₁)/I _s(z₂))^1/2- z₂) (1-(I_s(z₁)/I _s(z₂))^1/2)^-1 (п2.2)

Особенностью измерения l_g, является то, что при наличии СПЭ перед ИС необходимо получить сигналы при разных z, что не всегда возможно. Отметим, что только при наличии l_g можно определить вероятность пропускания p (см. (1.4)).

Рассмотрим случай, когда наблюдатель находится на поверхности тест-объекта. Распределение интенсивности пучка на этом объекте является результатом дифракции волн на ячейках СПЭ. Результирующее поле представимо в виде суммы геометрически неискаженной части и поля от граничной дифракционной волны (см. [3]). Тогда, интенсивность излучения на поверхности тест-объекта представима в виде суммы

I(z)=I₀[p(1+z/l)^-2+(1-p)(1+z/l_h)^-2] (п3.1)

Здесь параметры I₀, p, z, l, l_h введены ранее. Второе слагаемое (п3.1) содержит в числителе только затененную часть СПЭ. Следовательно, при использовании коэффициента поглощения q=1-p, для интерпретации диффузного гало могут быть использованы только граничные дифракционные волны, образующиеся на границах ячеек СПЭ.

Приложение 4. Вероятность экстинкции равна отношению интенсивности прошедшего через СПЭ неискаженного пучка к соответствующей интенсивности в отсутствии СПЭ. В этом подходе, согласно теории Кирхгофа [3], диффузное гало создается некоторой площадью вокруг непрозрачной ячейки СПЭ. Основным недостатком такого подхода является трудность в обосновании наличия геометрически неискаженной части пучка на выходе из СПЭ для вероятности поглощения q=1-p>0.5. Тем не менее, системы бокового наблюдения изображения пучка на поверхности тест-объекта (CCD камер, см. [4]) делают возможными непосредственные измерения коэффициента экстинкции. Для этого достаточно получить изображение неискаженной части пучка при наличии и без СПЭ.

При наличии отверстий в СПЭ использование (1.3) является более предпочтительным, поскольку измеряемое ДПС(2) угловое увеличение пучка равно угловому размеру гало. Действительно, увеличение углового размера пучка однозначно связано с дифракцией на отверстии и нет необходимости вводить геометрически неискаженную часть пучка. Достаточно параметров р и l_g для определения основных микрофизических параметров СПЭ с отверстиями.

Дополнительные калибровочные коэффициенты введены в [А8]. Коэффициент С₁ – индикатор параксиального приближения определяется как

p=C₁p_m , (п6.1)

здесь p – реальная вероятность пропускания СПЭ, p_m – измеряемая вероятность пропускания СПЭ. Коэффициент С₁=1, если параксиальное приближение выполняется.

Коэффициент С₂ является индикатором периодичности расположения непрозрачных ячеек на СПЭ. Коэффициент С₂=1 если ячейки на СПЭ распределены случайно.

Если мы имеем слой с монодисперсными частицами, концентрацию которых в слое можно менять, то экспериментально можно построить зависимость углового размера гало от концентрации этих сфер в слое. Можно ожидать, что при некоторой концентрации сфер калибровочный коэффициент пропорциональности между размером сфер d_c и λ/Φ_sp начнет зависеть от концентрации сфер. Этот результат будет свидетельствовать о появлении вклада многократного рассеяния. При этом появляется методическая возможность количественного учета вклада эффектов многократного рассеяния.