Глава 2. Объекты и методы

1. Модельные данные

Построенные алгоритмы вычисления стохастических характеристик аттракторов протестированы на различных видах модельных данных . Далее перечислены соответствующие модельные системы.

1. В качестве примера диссипативной динамической системы с предельным циклом рассматривался классический нелинейный осциллятор Ван дер Поля [43, 44], уравнения колебаний которого имеют вид

   (2.1)

   Параметр a характеризует подкачку энергии в систему от внешнего источника и называется параметром возбуждения. Диссипация в осцилляторе нелинейным образом зависит от колеблющейся переменной x. В фазовых координатах уравнение колебаний осциллятора записывается как

   (2.2)

   со знакопеременной дивергенцией, тождественно не равной нулю: . В общем случае (2.2) не интегрируются и исследования проводятся с использованием численных методов. В практически важном случае (a>0,b>0) уравнения (2.2) имеют единственное устойчивое решение в виде предельного цикла Г, изображенного на рисунке 3. В качестве временного ряда данных были выбраны отсчеты координаты x: , , M=8192, =0.02.

   
   Рисунок 3.
   Предельный цикл системы (2.2).
   Численный счет проведен для
   значений параметров a=1, b=0.3.

2. Если добавить в уравнение (2.1) внешнюю силу амплитуды B и частоты p, несоизмеримой с частотой периодических колебаний автономного осциллятора [1, 2], то оно перепишется в виде

   (2.3)

   Периодическая модуляция предельного цикла автономной системы приводит к тому, что фазовая траектория с заданной частотой p вращается вокруг предельного цикла и лежит на тороидальной поверхности. Аналогично случаю предельного цикла эта поверхность будет устойчивым предельным множеством, к которому стягиваются со временем все траектории из некоторой окрестности тора (как изнутри него, так и снаружи!). Минимальная размерность фазового пространства, в которое можно вложить двумерный тор, равна трем. В результате получается динамическая система вида

   (2.4)

   Восстановленная в трехмерном пространстве реализация временного ряда данных вида , , M=16384, =0.02 представлена на рис. 4.

   
   Рисунок 4.
   Двумерный тор. Численный счет
   проводился для значений параметров
   a=1, b=0.3, B=1, p=1.5.

3. Отображение Хенона [30]:

   (2.5)

   Временной ряд данных: s_k=x_k, , M=16384. При значениях параметров a=1.4, b=0.3 получается странный аттрактор (рис.5).

   
   Рисунок 5.
   Аттрактор Хенона.

4. Система Ресслера [36]:

   (2.6)

   Временной ряд данных: , , M=16384, =0.5. Параметрам a=0.2, b=0.2, c=5 соответствует странный аттрактор (рис.6).

   
   Рисунок 6.
   Аттрактор Ресслера.

5. Система Лоренца [33]:

   (2.7)

   Временной ряд данных: , , M=8192, =0.02. Параметрам =10, b=8/3, r=28 соответствует странный аттрактор (рис.7).

   
   Рисунок 7.
   Аттрактор Лоренца.

6. Белый гауссов шум с нулевым средним и единичной дисперсией. Длина временного ряда данных M=16384.

2. Экспериментальные данные

Были проведены исследования электрофизиологических данных:

1. Электрическая активность пищеварительной системы человека [18].
2. Нейронная активность земного моллюска вида Limax maximus [19, 24].

3. Оптимизация вычисления корреляционного интеграла

1. Прежде всего, координаты точек аттрактора преобразуются в целочисленные с ограничением по модулю числом N_max. Расстояние в фазовом пространстве задается в виде и может принимать только целые значения в диапазоне от 0 до 2N_max. В расчетах использовалось число N_max=16383.

2. Корреляционный интеграл C(r) будет вычисляться на сетке расстояний r:

   

   С учетом этого задаем вспомогательную функцию

   в виде

3. На сетке расстояний r вычисляется функция :

   

   Для этого один раз перебираются все пары точек x_i,x_j, в которых i<j. Полное число таких пар m(m-1)/2. Для каждой пары находится расстояние между точками . Таким образом, значение функции в точке r_k показывает, какая часть пар точек находится на расстояниях r, таких, что L(r)=k.

4. Значения корреляционного интеграла получаются из выражения: .

4. Вычисление корреляционной размерности

1. На сетке вычисляются тангенсы углов наклона корреляционного интеграла в двойном логарифмическом масштабе:

   

   Здесь .

   Найденные значения дают оценку корреляционной размерности аттрактора при данном расстоянии r.

2. Находится скейлинговый диапазон расстояний, где , и в этом диапазоне аппроксимируется значение корреляционной размерности D₂. Для этого каждой размерности D₂(r_k) присваивается вес w_k = lnr_k - lnr_k-1 и последовательно перебираются все группы по три, по четыре значения D₂(r_k) для соседних r_k и так далее. Пусть группа состоит из N значений: D₂(r_a),...,D₂(r_b). Тогда ей соответствуют:

   1. суммарный вес
      

      ,

   2. взвешенное среднее
      

      ,

   3. взвешенное стандартное отклонение
      

      .

   Начиная с N=3, вычисляем

   

   и полагаем

   .

   Экспериментально получено, что оптимальным является значение порога .

5. Вычисление корреляционной энтропии

1. На сетке расстояний вычисляются значения:

   

   Здесь .

2. Найденные значения определяют оценку корреляционной энтропии K₂ аттрактора при данном расстоянии r и размерности вложения n. Энтропия находится в разумном диапазоне значений r и n. При этом используются такие же процедуры, что и для нахождения корреляционной размерности.