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(M-1a) Entraînement à l'Algèbre

La section (M-1) vous a donné les principes de l'algèbre simple. En les appliquant, ces exercices vous aideront à la pratiquer.

Ne vous attendez à rien de profond ou de curieux - ce sont juste des exercices, comme ceux des doigts qui s'entraînent à maîtriser un instrument de musique, ou d'effectuer un créneau pour les apprentis automobilistes. Faites-les tous --et n'en n'omettez pas !

(1) Isolez x dans chaque équation et trouvez sa valeur, en vous rappelant que
        "si des opérations identiques sont effectuées des
        deux côtés d'une équation, l'égalité reste."

à droite de chaque problème nous donnons les instructions pour le résoudre, avec la liste des opérations à effectuer dans l'ordre, de gauche à droite.Ecrivez une nouvelle équation à chaque étape.

Pour des opérations appliquées aux deux côtés, les instructions sont ainsi notées :

      (+2)     additionnez 2
      (–6)     soustrayez 6
      (*3)     multipliez par 3 3
      (/5)     divisez par 5
      Pour les autres opérations :
      (+/–)     ajoutez ou soustrayiez les termes partout où vous le pouvez
      (*)     multipliez les termes partout où vous pouvez
Note: Les équations n'ont pas toutes une solution unique. Certains peuvent être des identités, par exemple 2(x+1) = 2x + 2, valables pour n'importe quelle valeur de x. Certains peuvent être des fausses–identités, par exemple. 2(x+1) = 2x + 3, jamais valables, parce qu'elles se réduisent à la condition impossible 2 = 3.

5+x = 7 (–5)
x/2 = 3 (*2)
x/3 + 4 = 8 (–4)(*3)
4x – 5 = 15 (+5)(/4)
3x + 6 = 5x (–3x)(/2)
6x + 4 = 1.5x + 13 (–1.5x)(–4)(/4.5)
15x – 2 = 6x + 16 (–6x)(+2)(/9)
21x – 3 = (7x+9)/2 (*2)(–7x)(/5)(/3)
Notez que la multiplication par (–1) inverse tous les signes des deux côtés !

10 – 3x = –2 (–10)(*(–1))(/3)
1/(x+1) = 2/(x+3) (*(x+1))(*(x+3)(*)(–x)(–2)
(x+2)(x+1) = (x+7)(x–1) (*)(+/–)(–x2)(–2)(–6x)(*(–1)(/3)

                Les mêmes types d équations, mais maintenant sans instructions :

7 + 2x = 13
15 + 7x = 1
4x – 3 = 2x
5x – 3 = 1 – 2x

(x/2)+5 = (x/3)+6
5x – 20 = x+8
(x+6)/2 = 2x – 21
(2x–3)/(4x–3) = 1

2/(3–x) + 1/(2+x) = 0
(x+10)/(3x+5) = 2
(11x+1)/(6x–2) = 2
(x+2)(x+3) = (x+1)(x+7)

                (3) Ces équations sont elles erronées ? Et si oui, cherchez l'erreur !

(15x–5)/(3x–1) = 5
4(3x–5) = 2(6x+7)
5(x–3) = 7x – 15

                (4) les relations ci–dessous contiennent toutes x et y.:
                      exprimez y en termes de x, par exemple

                                x + y = 7                 Réponse : y = 7 – x

                Toutes les opérations sont indiquées comme avant, mais attention :
                      Il y a un problème mal posé.

2x + 3y = 7 (–2x)(/3)
(3y+1)/(x+2) = –2 (*(x+3)(*)(–1)(/3)
(4x – 5y –2) = 13 (+2)(–4x)(*–1)(/5)
(3y + x + 6)(y–x+2) = 2 (*(y–x+2))(*)(–2y)(–x)(––6)
(y–4x)/(y+x+6) = 1 (*(y+x+6))(–y)(–x)(*(–1))(/5)
(15x–2y+6) = (y–6) (–y)(–15x)(–6)(*(–1))(/3)

                (5) Voici des équations par paires comprenant deux nombres inconnus, x et y.

Trouvez la solution des ensembles d'équations deux fois. Commencez par
    (a) exprimer y d'une équation en termes de x, puis
    (b) substituez cette expression de y dans l'autre équation, puis
    (c) calculez x, et finalement
    (d) remplacez cette valeur dans l'expression substituée pour obtenir y.
Recalculez en échangeant les rôles –– x étant exprimé à partir d'une équation, remplacez le dans l'expression de l'autre, calculez y, puis à son tour x .

(a) x+3y = 5 2x – y = 3
(b) x+y = –1 3x+4y = 2
(c) x+34 = 15 3x+y = 5

                (6) Deux équations étant données, marquées ici I et II, vous pouvez également

multiplier ou diviser chaque équation par n'importe quel nombre. Vous pouvez même ajouter ou soustraire les équations l'une à l'autre : Puisque les quantités que vous vous ajoutez ou soustrayez des deux côtés sont égales, on obtient une égalité également valable.

Voici quelques exemples –– le premier est effectué, les étapes sont juste indiquées pour les autres. Dans notre notation, II signifie toujours la 2ème équation à ce stade du calcul –ce n'est pas forcément la 2ème équation d'origine mais doit pouvoir (par exemple) avoir été multipliée par 6. Si les instructions n'énoncent qu'une opération, il faut l'appliquer à l'équation obtenue à l'étape précédente.

                5x – 12y = 2 (I)
                –3x + 2y = 4 (II)

(II*6)
                –18x + 12y = 24
(I+II)
                5x – 18x = 26                 (12y et –12y s'annulent
(+)
                –13x = 26
(*(–1))
                13x = –26
(/13)
                x = –2
Pour trouver y, mettez ce résultat en (I)

–10 – 12y = 2
–12y = 12
12y = –12
y = –1
Vérifier votre résultat, en calculant si (II) est correct

(–3)(–2) + 2(–1) = 4? (4 = 4, résultat OK)

Dans ce qui suit, les étapes pour obtenir une seule variable sont indiquées. Calculez vous même l'autre variable et vérifiez le résultat.

(a) 3x+4y = 19         (I) 5x + 2y = 13         (II) (II*2)(II – I)(/7)
(b) 2x+3y = 5         (I) 3x+2y = 0         (II) (I*3)(II*2)(I–II)(/5)
(c) 4x+3y = 16         (I) 3x+5y = 12         (II) (I*3)(II*4)(II–1)(/11)
(d) 2x+6y = 34         (I) 5x+2y = 46         (II) (II*3)(II–1)(/13)
(e) 3x+5y = 31         (I) 2x–3y = 11         (II) (I*2)(II*3)(I–II)(/19)

                (7) Maintenant, à vous de jouer sans aide :

(a) 2x–3y = 1 (I) 3x+2y = 21 (II)
(b) 5x–2y = 20 (I) 10x + 3y = 5 (II)
(c) 6x + 2y = 8 (I) 5x + 4y = 16 (II)
(d) 3x – 4y = 1 (I) 2x + 3y = –5 (II)


(8)     les deux échelles le plus largement répandues pour mesurer la température sont celles de Farenheit (utilisée aux USA) et de Celsius ( l'échelle centigrade employée dans le reste du monde par les scientifiques).
        (a)     Pour une température mesurée en F degrés Farenheit et C degrés centigrades, il y a la relation :

    F = x C + y

    Trouvez x et y, sachant que 100 degrés centigrades (point d'ébullition d'eau) correspondent à 212 degrés Farenheit, et 0 degrés centigrade (point de congélation de l'eau) à 32 degrés Farenheit.

        (b)     En uttisant la solution de (a)-- à quelle temperature C = F?

Prochaine étape: Al-Khorezmi et l' aube de l' Algèbre

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      Auteur et responsable :   Dr. David P. Stern
     Mail au Dr.Stern:   stargaze("at" symbol)phy6.org

Traduction française: Guy Batteur
guybatteur(arobase)wanadoo.fr