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Note: In questa lezione, come nella precedente, tutte le quantità vettoriali saranno sottolineate.

(23a) Sistemi di riferimento: La forza centrifuga

Lo studente, che si era alzato presto per prepararsi agli esami, rimuginava fra sé ... "Forza centrifuga, forza centripeta" – si diceva col mento nella mano; – "Fermiamo il corso di un pianeta, togliamogli la forza centrifuga: cosa accadrà? Resta la forza centripeta e il pianeta precipita sul Sole...! Questa poi!"

                H.G.Wells, La Stella   (Facendo clic sul titolo si può
               leggere tutta la storia).


    Torniamo ora al moto circolare.

    La forza centrifuga

    Il moto circolare è un moto accelerato. Quindi, se lo studiamo in un sistema di riferimento in rotazione, ci aspettiamo che compaiano delle forze inerziali, come abbiamo discusso nella precedente sezione.

      Supponiamo che una persona sia seduta in un autobus, il quale si muova con moto rettilineo a velocità costante v. Come prima, le forze implicate sono il peso del passeggero F1 e la forza di reazione del sedile F2 e, in assenza di accelerazione, le due forze si annullano a vicenda:

    F1+ F2 = 0

    Improvvisamente l'autobus affronta una curva stretta, seguendo una porzione di circonferenza di raggio r. Se il corpo del passeggero deve rimenere sul sedile come prima, occorre aggiungere un'altra forza, per evitare che continui a procedere in linea retta (come sarebbe la sua tendenza naturale). Se ru è un vettore unitario (i vettori unitari sono definiti nella precedente sezione) orientato verso l'esterno dal centro di rotazione, lungo il raggio r, la forza F2 esercitata dal sedile deve aumentare per fornire la forza centripeta -(mv2/r)ru che consente al passeggero di assecondare il moto dell'autobus:

F1+ F2 = - (mv2/r) ru

  L'autobus e il sedile ora costringono il corpo del passeggero a seguire una porzione di circonferenza, e per far questo devono tirarlo verso il centro. Perché il passeggero rimanga sul suo sedile (cioè per riequilibrare la precedente equazione), al termine F2 nell'equazione va aggiunta una ulteriore forza nella direzione di -ru, diretta verso il centro della curva.

Come appare lo stesso evento nel sistema di riferimento dell'autobus? Sommando (mv2/r)ru ad entrambi i membri dell'equazione, si ottiene, similmente a come era stato fatto prima

F1+ F2 + (mv2/r) ru = 0

Si ottiene l'equilibrio e il passeggero resta al suo posto se questa equazione è soddisfatta. Si può considerare come l'equilibrio tra 3 forze: F1, F2 e la forza centrifuga (mv2/r)ru orientata radialmente lungo ru verso l'esterno.

Tutto questo si può facilmente generalizzare ad ogni sistema di riferimento in moto circolare:
 

    In un sistema di riferimento in rotazione, esiste l'equilibrio se tutte le forze si compensano tra loro, inclusa la forza "centrifuga" inerziale (mv2/r)ru.

Esempi

Quando si calcola il moto degli oceani e dell'atmosfera, è molto più facile usare dei punti di riferimento sulla Terra in rotazione e aggiungere la forza centrifuga a tutte le equazioni. È questo il motivo per cui l'accelerazione g che si osserva, dovuta alla gravità, si discosta dal valore medio 9,81: all'equatore, alla forza di gravità va sottratta la forza centrifuga, mentre ai poli non esiste alcuna forza centrifuga. Le misure di g danno valori che vanno da 9,78 all'equatore a 9,83 ai poli, ma la forza centrifuga è soltanto parzialmente responsabile di questa differenza. Il resto è dovuto al fatto che la Terra non è una sfera perfetta: la forza centrifuga dovuta alla sua rotazione causa un rigonfiamento all'equatore, facendo sì che all'equatore la superficie sia più lontana dal centro della Terra, rendendo quindi più debole l'attrazione gravitazionale.
    (Si può anche notare che la forza centrifuga è orientata perpendicolarmente all'asse di rotazione terrestre e verso l'esterno, per cui la sua direzione è allineata con il centro della Terra soltanto all'equatore. Ci si aspetta quindi che in tutti gli altri punti (eccettuati i poli) ci sia una piccolissima differenza tra la verticale, definita dal filo a piombo, e la direzione verso il centro della Terra).

Un altro esempio è il "giro della morte", un'attrattiva in alcune montagne russe nei parchi di divertimenti. In tal caso, la rotaia scende per una lunga discesa e poi, arrivata in fondo, compie un anello completo (ved. disegno) prima di ritornare in assetto orizzontale. Nel punto indicato con "A" i passeggeri del vagoncino si trovano per qualche istante a testa in giù, ma non cadono. Come mai? E (in assenza di attrito) qual'è la minima altezza h del punto iniziale S al di sopra di A, necessario perché il vagoncino passi senza rischio per il punto A?

Questo problema è facilmente risolubile nel sistema di riferimento solidale con il vagoncino dell'otto volante. In tale sistema di riferimento, le forze sul vagoncino alla sommità dell'anello sono
  • il peso -mg ru (verso il basso, lungo -ru in questo punto.)
  • la forza centrifuga (mv2/r) ru, e
  • la forza F2 esercitata dalle rotaie.

Il vagoncino riuscirà appena appena a superare il punto A, se la gravità e la forza centrifuga sono esattamente uguali, cosicché le rotaie non devono esercitare nessuna forza aggiuntiva:

-mg ru + (mv2/r) ru = 0

I due vettori sono entrambi orientati lungo ru (con il segno che indica il verso), per cui tutto si riduce ad una equazione tra numeri ordinari:

-mg + mv2/r = 0

Supponiamo ora che il vagoncino inizi la sua discesa da un'altezza h al di sopra del punto culminante dell'anello. Arrivato in tale punto avrà

  • perduto un'energia potenziale mgh, e
  • guadagnato un'energia cinetica mv2/2
per cui, per la conservazione dell'energia

mgh + mv2/2      oppure       2mgh = mv2

Sostituendo
-mg + 2mgh/r = 0

Dividiamo per mg e aggiungiamo +1 ad entrambi i membri:

2h/r = 1      quindi moltiplichiamo per r/2 per ricavare h:       h = r/2

Il vagoncino deve iniziare la sua discesa almeno metà del raggio dell'anello al di sopra di A.
Si può fare clic qui per una sezione facoltativa che affronta lo stesso problema usando la forza centripeta.

Ulteriori approfondimenti

Per una dimostrazione da fare in classe sul "giro della morte" usando un'automobilina giocattolo con le "ruote a frizione" si può fare clic qui.

Per visitare un sito dedicato all'otto volante -- il più grande, il più alto, quello con il maggior numero di giri della morte (8) e quello con l'anello più grande ("Moonsault Scramble" in Giappone, ved. la fotografia all'inizio di questa pagina) -- si può fare clic qui.


Il prossimo argomento: #24a   La rotazione della Terra

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 21 Ottobre 2005