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(11a)  Le ellissi e la prima legge di Keplero

   Come avevamo già accennato, esistono altri modi per individuare un punto su un piano. Per esempio, un punto P può essere specificato dalla sua distanza r da un punto centrale O ("origine") e dall'angolo φ (la lettera greca "phi") che la linea OP forma con qualche direzione di riferimento. Queste "coordinate polari" (ved. il disegno in basso a destra) sono il mezzo più adatto per descrivere il moto planetario.

L'ellisse in coordinate polari

   Di nuovo, se tutti i valori di (r,φ) di una curva sono correlati da una qualche equazione che può essere simbolicamente scritta

r = r(φ)

allora la funzione r(φ) si chiama l'equazione della curva, in coordinate polari. La funzione più semplice è un numero costante a, a cui corrisponde la curva

r = a

   Il valore di r è uguale ad a per ogni valore di φ. Si ha in tal caso una circonferenza con centro nell'origine e di raggio uguale ad a, mostrata nella figura qui a destra.

L'ellisse

Consideriamo adesso la curva di equazione

r = a(1– e2)/(1+ e cos φ)

dove l'eccentricità e è un numero compreso tra 0 e 1. Se e = 0, torniamo chiaramente al caso della circonferenza esaminata qui sopra.

   Ma che succede per valori diversi? La funzione cos φ ha un comportamento ondulatorio (ved. l'immagine qui sotto), e, al variare di φ lungo tutta la circonferenza, passa prima da +1 a 0, poi al valore –1, e infine di nuovo a 0 e a +1. Anche il denominatore cresce e diminuisce con andamento ondulatorio, ed ha un minimo quando cos φ = –1. Sotto alla figura è riportata una tabella con i valori principali della funzione (360 sta tra parentesi, poiché rappresenta la stessa direzione di 0 gradi):

φ   in gradi 0 90 180 270 (360)
cos φ 1 0 –1 0 1
1 + e cos φ 1 + e 1 1 – e 1 1 + e

   Fintantoché e è minore di 1, il denominatore è positivo. Non è mai zero, per cui, qualunque sia il valore di φ, si potrà sempre trovare un corrispondente valore di r. In altre parole, la curva gira completamente attorno all'origine ed è chiusa.

   L'espressione (1 – e2) può essere scomposta in fattori, cioè scritta come due espressioni moltiplicate tra loro ("il prodotto di due espressioni"). Come viene discusso nella sezione sulle identità algebriche

1 – e2 =  (1 – e)(1 + e)

Per qualcuno dei punti della tabella precedente, (1 – e) oppure (1 + e) fa annullare il denominatore, dando:

φ   in gradi    0    90    180    270    (360)
  r a(1 – e) a(1 – e2) a(1 + e) a(1 – e2) a(1 – e)

   La distanza di un punto della curva dall'origine fluttua quindi tra a(1 – e) e a(1 + e), e il risultato è una circonferenza schiacciata o ellisse; il punto O (l'origine) è il suo fuoco. Tutte le orbite planetarie rassomigliano ad ellissi, ciascuna con un suo valore di e o eccentricità: più è piccolo il valore di e, e più la forma si avvicina a quella di una circonferenza. L'orbita terrestre è quasi circolare, con una eccentricità e = 0,0068, e gli altri pianeti maggiori (eccetto Plutone) hanno eccentricità simili: se guardaste un disegno in scala delle orbite tracciate su un foglio di carta, non riuscireste a vedere a occhio che non si tratta di circonferenze. L'orbita della cometa di Halley, al contrario, ha una eccentricità molto prossima a 1.

  Un'ellisse è il luogo dei punti
  per i quali  R1 + R2   ha lo
  stesso valore.

   Come menzionato nella precedente sezione vi è un secondo fuoco O' in posizione simmetrica rispetto ad O, e l'ellisse può essere definita (che è poi la sua definizione originale) come l'insieme dei punti per cui la somma R1+R2 delle loro distanze da O e da O' è sempre la stessa.

   La dimensione maggiore dell'ellisse, cioè il segmento AB lungo la linea che congiunge i fuochi, è detto "asse maggiore". Supponiamo che (R1,R2) siano le distanze di A dai fuochi O e O'. Allora R1 = OA = a(1–e) è la minima distanza della curva da O, mentre R2 = O'A = OB (per simmetria) è la massima distanza, che quindi è uguale a
a(1 + e). Ma OA + OB = AB, e quindi

AB = a(1 – e) + a(1 + e) = 2a

   Di conseguenza la quantità a nell'equazione dell'ellisse è nota come semiasse maggiore. Possiamo ora esprimere in modo più preciso la terza legge di Keplero: "Il quadrato del periodo orbitale T è proporzionale al cubo del semiasse maggiore a della sua orbita intorno al Sole".

   Le due quantità (a,e) definiscono completamente l'ellisse. Quando l'ellisse è l'orbita di un pianeta o di un satellite, esse costituiscono due dei sei elementi orbitali che definiscono lo stato del corpo orbitante. Un terzo elemento, l'anomalia media, specifica la posizione del pianeta o del satellite lungo la sua orbita, e gli altri tre elementi definiscono l'orientazione dell'orbita nello spazio tridimensionale. Altre informazioni sugli elementi orbitali si possono trovare nella sezione (12b).

Un raffinamento della Prima Legge

La prima legge di Keplero era espressa così:

"L'orbita di un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei fuochi"

In realtà questo non è del tutto preciso. Immaginiamo che magicamente il pianeta diventi sempre più pesante, e che il Sole diventi sempre più leggero. A un certo momento entrambi avranno la stessa massa: come potremo allora dire qual'è dei due che orbita intorno all'altro?

   Per essere completamente accurata, la prima legge avrebbe dovuto porre il fuoco dell'ellisse orbitale nel centro di gravità del sistema pianeta-Sole. (Il centro di gravità sarà definito più avanti, ma, intuitivamente, se le masse sono molto diverse tra loro, come nel caso di un pianeta e del Sole, il centro di gravità si trova molto vicino al centro del corpo più pesante). Poiché il Sole è molto più pesante di Marte, l'effetto sull'orbita di Marte, che Keplero aveva studiato, era troppo piccolo perché fosse da lui notato. Tuttavia anche il Sole si muove come conseguenza del moto dei pianeti, e i movimenti di questo tipo sono diventati uno strumento molto importante per cercare altri pianeti fuori del nostro Sistema Solare.

   Un pianeta delle dimensioni della Terra in orbita attorno a una stella lontana sarebbe troppo debole per essere rivelato da un telescopio sulla Terra, specialmente a causa del bagliore luminoso del suo sole, la stella stessa. Tuttavia, mentre il pianeta percorre la sua orbita, anche la sua stella si muove lungo un'orbita speculare attorno al comune centro di gravità. Si tratta di un'orbita molto più piccola e di un moto molto più lento, poiché il centro di gravità è molto vicino al centro della stella (nel sistema Terra-Sole, si trova all'interno del Sole), tuttavia l'effetto può essere rivelato da piccole variazioni della luce della stella.

    Recentemente sono stati trovati, con questo metodo, alcuni pianeti, ma quasi tutti hanno le dimensioni di Giove e nessuno di essi sembra adatto ad ospitare la vita. La ricerca, comunque, prosegue, e dati aggiornati in proposito (oltre a molte altre notizie) si possono trovare sul sito "Planet Quest" ("Ricerca dei pianeti"), un sito Web del Jet Propulsion Lab (JPL) della NASA. Una scoperta abbastanza recente (15 aprile 1999) è stata quella del sistema di ipsilon Andromeda che sembra comprendere almeno tre pianeti. Per un'altra recente scoperta riguardante un pianeta al di fuori del Sistema Solare, si può fare clic qui.

Gli oggetti nel Sistema Solare si possono muovere anche lungo altri tipi di sezioni coniche, come parabole e iperboli, le cui equazioni rassomigliano a quella dell'ellisse, ma hanno e uguale a 1 o anche maggiore. Strettamente parlando, queste orbite non hanno un "semiasse maggiore", poiché non hanno dimensioni limitate come le ellissi, ma si estendono fino all'infinito. L'equazione viene allora scritta

r = p/(1 + e cos φ)

che non presenta problemi quando e = 1. Tali corpi non sono legati al Sole, ma sono liberi di abbandonarlo. Il denominatore nell'equazione della traiettoria diventa zero per alcuni valori di φ, rendendo r infinito, e, quando per un oggetto di questo tipo si raggiungono tali valori, esso si allontana sempre di più, senza limiti. In genere le comete hanno un'eccentricità e prossima a 1, suggerendo così che provengono da regioni molto remote del Sistema Solare. La sonda spaziale Voyager 2 ha un'orbita con e > 1 ed è stata inviata fuori dal Sistema Solare per non farvi più ritorno.


Domande poste dagli utenti:   Asimmetria dell'orbita lunare
                Un'altra domanda:   Forma dell'orbita di Marte
                Un'altra ancora:   Come varia la distanza tra la Terra e il Sole
                            ***     La forma dell'orbita terrestre

Il prossimo argomento: #12  La seconda legge di Keplero

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Autore e Curatore:   Dr. David P. Stern
     Ci si può rivolgere al Dr. Stern per posta elettronica (in inglese, per favore!):   stargaze("chiocciola")phy6.org

Traduzione in lingua italiana di Giuliano Pinto

Aggiornato al 10 Dicembre 2005