#21b     Vuelo a Marte: Por cuanto tiempo?
Por que ruta?

    Usando los mecanismos orbitales que se desarrollaron en el pasado, podemos ahora planear (con aproximaciones) una misión espacial a Marte. Asumiendo que tenemos el cohete y la nave--¿como deberían ser dirigidos, y cuanto tiempo tomaría el vuelo?

    Como aproximación asuma que la órbita de la Tierra y de Marte son ambas círculos en el mismo plano, centradas en el Sol. El radio de la órbita terrestre, indicado por r₁, es de alrededor de 150.000.000 kilómetros, una distancia conocida como unidad astronómica (UA). Es una unidad conveniente para medir distancias en el sistema solar y fue usada en la sección #10 sobre las leyes de Kepler. Como en esa sección, aquí tambien todas las distancias serán medidas en UA y los tiempos en años.Con tales unidades, para r1 de la Tierra = 1 UA y el período orbilar es T1 = 1 año. Para Marte, Para Marte (subíndice 2), r₂ = 1.523691, T₂ = 1.8822.

    Nota: Todas las cantidades en esta sección y en la siguiente son, o bien no- vectores, o magnitudes de vectores. Cuando una cantidad es mostrada en negrita, es solamente para clarificar la demostración, no lleva ninguna connotación relativa al vector.

La Tierra y Marte en su aproximación más cercana.

    Primero, la gravedad de la Tierra doblaría la trayectoria de cualquier nave espacial lanzada desde aquí. Para quitar ese factor, asuma que el cohete ha sido ya ubicado en una distante órbita alrededor de la tierra, donde la gravedad de la Tierra es débil y el movimiento orbital lento, permitiendo que no nos preocupemos por esto.En la planificación real de la órbita ellos deben ser tomados en cuenta como una corrección.

    Aún así, ese cohete está orbitando el sol junto con la Tierra, al cual está ligeramente unido, moviéndose a aproximadamente 30 km/seg. una velocidad que escribiremos como V₀. Esto es mucho más rápido que la que necesitamos para alcanzar la órbita de Marte (o la que puedes fácilmente alcanzar los cohetes!). Si lanzamos cuando Marte está más cerca (figura), V₀ es transversal a la dirección apuntada, de modo que la nave espacial arrancará en una dirección bastante diferente a la que apunta a Marte--y es seguro que Marte se moverá mucho antes de que éste haya cubierto la distancia interviniente. Esta es la segunda razón.

    La tercera razón es que el sistema entero esta dominado por la gravedad del Sol. Todos los objetos viajan en órbitas o trayectorias, las cuales, por las leyes de Kepler son parte de secciónes cónicas-en este caso, elipses. En general, éstas son curvadas.

Orbita de translado

    Por lo tanto, en lugar de "apuntar y disparar", es mejor buscar una órbita que lleve la nave espacial desde la Tierra a Marte, y decidir el lanzamiento cuando el arribo a la órbita de Marte, coincida con el arribo de Marte a la misma ubicación.

La órbita de translado de Hohmann

    Además, la dirección en la cual la nave espacial se mueva cuando llegue a Marte, debería facilitar la concordancia de velocidades con Marte. Esto lleva a la llamada Elipse de Translado de Hohmann (órbita de translado), presentada por primera vez en 1925 por el Ingeniero alemán Wolfgang Hohmann. Esto es, una elipse con perihelio P (el punto mas cerca posible del sol) en la órbita de la Tierra, y un afelio A (punto más distante del Sol) en la órbita de Marte (figura). Una elipse de translado similar, entre la órbita baja de la Tierra (digamos, r = 1.1 RE = 1.1 Radio de la Tierra) y la órbita sincrónica a 6.6 RE (ver sección #21a) es usada frecuentemente para inyectar satélites de comunicación en sus órbitas finales. Lanzamos desde Lanzamos desde P dándoles al cohete una velocidad adicional ademas de V₀, inyectándolo en la elipse más grande.

    Marte debería estar en una posición tal, relativa a la Tierra al momento del lanzamiento, que alcanza el punto A al mismo tiempo que la nave espacial. Para determinar esa posición necesitamos saber la duración del vuelo desde P hasta A, y ésta es deducida debajo, usando la 3er. ley de Kepler.

3er. Ley de Kepler's

    La 3er. ley de Kepler usada aquí tiene la misma forma que el la Sección #10 . Para ampliar, esa forma es deducida nuevamente má abajo. La ley dice que para todos los objetos que orbitan el Sol

    donde T es el período orbital y a el eje semi mayor, la mitad de la longitud de la elipse orbital (a=r en órbitas circulares). La constante es la misma para todos los objetos orbitando el Sol, incluyendo por supuesto La Tierra. Su exacto valor depende de la unidad en la cual T y a son medidos. Ese valor se vuelve muy simple si T es medido en años, y a en UA (como se ha hecho aquí). Insertando la ecuación de la 3er ley el valor para la Tierra da

    en nuestras unidades, entonces

    Consecuentemente en estas unidades la constante también iguala a 1, y el valor puede ser usado para cualquier planeta. Multiplicando ambos lados de la ecuación por a3 (segunda ley de álgebra)

    Esto también se mantiene para cualquier órbita alrededor del Sol, incluyendo la de una nave espacial en una elipse de traslado. La longitud de esa elipse es, en AU,

    Ese es el eje mayor de la elipse orbital, y la mitad de su longitud iguala al eje semi mayor a . Por lo tanto

    Tomando la raíz cuadrada

La Tierra y Marte al lanzamiento

    Ese es el tiempo para ir desde P hasta A y volver a P. El tránsito de un sentido a Marte es la mitad de eso, es decir 0.70873 años o aproximadamente 8.5 meses.

Ubicación de Marte

    ¿Donde debería estar Marte al momento del lanzamiento? De acuerdo a los números citados al comienzo de esta sección, Marte tarda 1.8822 años para completar una órbita de 360⁰. Por lo tanto, asumiento una órbita circular y movimiento uniforme, (una aproximación menos precisa para Marte que para la Tierra), en 0.70873 años debería cubrir

    Por lo tanto, lanzamos cuando Marte en su órbita está a 135.555⁰ de distancia del punto A (dibujo)

    La próxima sección calcula la velocidad que el cohete debe impartir en al punto P para producir la órbita de translado, y el cambio de velocidad requerido en el punto A para igualar la velocidad de Marte. Este cálculo es mas largo y requiere algo de álgebra.