0 принципе позиционности в
труднорешаемых задачах

М.И.Тельпиз

1 О принципе позиционности

Основной темой наших рассуждений и исследований является принцип позиционности. Он проявился с наибольшей силой в системе счисления (нумерации), основанной на принципе позиционного или поместного значения цифр.

Целью всякой нумерации является изображение любого натурально-го числа с помощью небольшой группы индивидуальных знаков. Наиболее известным способом записи чисел является тот, на котором основана наша десятичная система нумерации. В этой нумерации все числа от 1 до 9 обозначаются индивидуальными символами 1, 2... 9, к которым присоединяется знак 0 для нуля. Известный французский математик и физик П.С.Лаплас (1749 — 1827) так выразил своё восхищение этим принципом [1]:

"Мысль выражать все числа 9 знаками, предавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять насколько она удивительна. Как нелегко было придти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталось скрытой".

Ещё большее восхищение выразил один из великих математиков России М.В. Остроградский (1801 — 1862) [2]:

"Нам кажется, что после изобретения письменности, самым большим открытием было использование человечеством так называемой десятичной системы счисления.

Мы хотим сказать, что соглашение, с помощью которого мы можем выразить все полезные числа двенадцатью словами и их окончаниями, является одним из самых замечательных созданий человеческого гения

Но сразу ли дало результаты это замечательное открытие, сделанное при зарождении общества? Нет. На часах истории потребовалось пятьдесят веков, чтобы прийти к такому замечательному способу, которым мы обладаем для записи чисел.

Всего около девяти веков прошло с тех пор, как мы научились записывать числа с помощью цифр, каждая из которых имеет своё собственное значение и значение, зависящее от положения. Этот принцип относительного значения цифр очень прост и, однако, только можно сказать, случайно он стал общепринятым, притом очень медленно, в Европе и в остальном мире.

Нам кажется, что важность такого глубокого открытия

подчёркивают недостаточно и внимания ему уделяют слишком мало.
Действительно, какие вычисления были возможны до этого открытия?

Все тормозилось из-за отсутствия такой простой записи чисел.

Все достижения математических наук, астрономии, механики, даже химии зависели, от выполнения в уме чрезвычайно сложных действий.

Ныне десятилетний ребёнок может без труда выполнить вычисления, которые не могли даже себе представить великие Архимед, Пифагор или Гиппарх.

Таким образом, арифметика, скромная арифметика, является относительно недавним открытием. Теперь она удивительно проста, если её не усложняют для забавы педантичными ухищрениями".

В этих высказываниях двух великих творцов науки принцип позиционности не упоминается, но о нем говорится по существу, когда каждый из них говорит о значении цифры, зависящей от положения (Остроградский) или места (Лаплас). Весьма важным является и то, что каждый из них указывает на то, что, несмотря на кажущуюся простоту такой системы записи, она является продуктом длительного исторического развития, и в создании ее принимали участие целые народы, можно сказать даже, что создание такой системы является делом всего человечества, хотя осознание самого факта изобретения наступило значительно позже (я бы добавил, что осознание — это частичное, а полного до сих пор нет, что будет пояснено ниже).

Хотя каждый из них говорит о десятичной системе, сама десятичная система на самом деле не обладает какими — либо особыми преимуществами, выделяющими её из позиционных систем с другим основанием.

Хотя каждый из них говорит о десятичной системе, сама десятичная система на самом деле не обладает каким-либо особыми преимуществами, выделяющими её из позиционных систем с другим основанием. В самом деле, позиционное представление с основанием {или по основанию) b определяется правилом:

(... ак ... аЗа2а1а0, а-1а-2 ...а-m ...)b=... + аk*bk +...3* bз2* b21* b1+a0-2* b-2+ ...+a-m b-m+ ..., (1)

где каждый символ ai, получает значение, определяемое: 1) его начертанием, 2) его положением в записи числа. Наша традиционная десятичная система счисления — это, разумеется, тот частный случай, когда b равно десяти, и когда значения а; выбираются из десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; в этом случае индекс b в (1) можно опустить. В общем случае в качестве b берут любое целое число, большее единицы и числа аiэто целые числа из интервала: . Так получаются стандартные двоичная (b = 2), троичная (b = 3), четверичная (b = 4), ... системы счисления. Выбор основания является принципиально произвольным. Понимание этого факта означает осознание принципа позиционности. Есть все основания считать, что эта заслуга принадлежит Б.Паскалю (1623 — 1662). Им в 1654 году была впервые разобрана сущность нумерации с произвольным основанием в сочинении "0 делимости чисел, выведенной с помощью одного сложения их цифр", опубликованной в 1665 году.

Усвоив с детства позиционный способ нумерации, мы склонны недооценивать это замечательное культурное достижение человечества. Однако история математики говорит [1, 3], что такие высококультурные народы древности, как египтяне и даже греки с их изумительно тонкой и глубокой математической культурой, не создали позиционной нумерации. Трудности пути к этому великому открытию видны из истории развития систем обозначения чисел у разных народов [4, 5]. Эти системы (за совсем небольшим исключением) были непозиционными. В настоящее время сохранилась и используется (частично) лишь одна из них - римская, в которой узловыми числами являются: I — единица, V — пять, Х — десять, L— пятьдесят, С — сто, D — пятьсот, М — тысяча. Нуля нет [1, 3, 5].

Нельзя согласиться с тем, что, скажем, "ионийская" система нумерации в пределах чисел, с которыми греческим математикам приходилось оперировать, вполне удовлетворяла требованиям практики, поэтому не возникала необходимость поиска другой системы, более совершенной. Для этого достаточно обратить внимание на необходимость введения "октад" (это 108) у Архимеда (287 — 212) и аналогичных им "тетрад" (это 104) у Аполлония (260 — 170). Основная цель сочинения Архимеда "Псаммит" ( "Исчисление песчинок"), в котором использовались "октады" (см. [6], заключалось именно в создании систематического приёма построения и словесного обозначения сколь угодно больших чисел (это, в современной терминологии — потенциальная осуществимость).

Внимательный анализ разработанной нумерации этими двумя гениями древности показывает, что они довольно близко подошли к мысли о позиционности, но всё же эта гениальная идея от них ускользнула, ускользнула и сопутствующая мысль о введении нуля, о котором Ван дер Варден (р. в 1903 г.) сказал [3]: "самая важная цифра есть нуль. 3mo была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ".

Я считаю, что не являются состоятельными доводы [1], трактующие в противовес [2], что это открытие не могло быть случайным, поскольку имелось разновременное и самостоятельное возникновение позиционной системы, по крайней мере у трёх народов: 1) более чем за две тысячи лет до нашей эры в долине Тигра и Евфрата у вавилонян, 2) в начале нашей эры у племён майя, бывших обитателей полуострова Юкатан в Центральной Америке, и 3) в VIII — IX веках нашей эры в Индии.

Все эти три открытия были (поскольку в них принцип позиционности просматривается фактически) и всех этих трёх открытий не было (или, точнее, все они были случайными эмпирическими приёмами), поскольку понимания содеянного не было, иначе каждая из этих систем получила бы усовершенствование, базирующееся на принципе позиционности. Понимание (опять неполное, о более полном будет ещё ниже) содеянного зафиксировано было лишь Б.Паскалем в упомянутой выше работе, поскольку понимание принципа позиционности не означает иметь шестидесятиричную систему счисления (не имевшей, кстати говоря, абсолютного характера) как у вавилонян, ни двадцатиричную (с признаками пятиричной) как у майя, ни десятичную как у индийцев, а — произвольную.

Таким образом, возраст принципа позиционности (как частично. осознанному открытию) не превышает 350 лет. Я понимаю, что мне могут указать на то [1], что первая точно датированная надпись, в которой встречается знак нуля, относится к 876 году (в ней число 270 записано с использованием нуля, или привести цитату из [3]: "... в. конце концов индийским цифрам была суждена победа. Как и во всех других областях культуры, здесь на первом месте стояла Италия. В 1202 году появилась прекрасная книга по арифметике — "Liber Abaci' Леонарда Пизанского, прозванного Фибоначчи".

Я не буду говорить, что эти доводы не убедительны, поскольку новая система отторгалась: в 1299 году появился указ властей города Флоренции, запрещающий употреблять индийский цифры, а в 1494 году франкфуртский бургомистр увещевал конторщиков знать меру с этими цифрами, то есть не слишком часто использовать их. Я понимаю, что это не очень убедительно. Поэтому отвечаю на это так: появление нуля или книги с пропагандой индийских цифр ещё не означает, что пропагандисты понимали все достоинства того, что они пропагандировали. Я думаю, что они интуитивно чувствовали, что у этой системы имеются достоинства, но этого мало, когда не известно какие. А вот то, что до появления указанной выше работы, Б.Паскаль сконструировал суммирующую машину (1642 год), говорит о глубоком понимании принципа позиционности: последовательно проведённый позиционный способ обозначения имеет огромные преимущества для техники счёта. Достаточно сравнить хотя бы умножение в современных цифрах с вычислением, например, в римских цифрах:

15*133 = 1995, XV*СХХХПХ = MCMXCV.

Если для первого вычисления мы обращаемся с десятками, сотнями, ... совершенно так же, как если бы они были единицами и только передвигаем их на одно, два, ... места влево, то для вычисления в римских цифрах это будет совершенно другое. В самом деле, для римлянина нет ничего общего в произведениях: ССС*LAX и III*VII.

Принципиальное различие между литерной (любой непозиционной) и позиционной системами счисления не только в технике счёта, но и в ускользающем от внимания исследователей факте: если в позиционной системе при записи величин длина текста растёт линейно, то в литерной с конечным алфавитом для записи тех же величин длина текста будет расти экспоненциально.

Последнее означает, что если бы мы отказались от принципа позиционности в представлении чисел, то современная вычислительная математика не могла бы существовать, и наличие современных компьютеров (само их наличие проблематично) мало что бы изменило.

2 Об арифметизации функций

Анри Пуанкаре (1854 — 1912), рассуждая о будущем математики, указывает (см. [7] стр. 294): "Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук".

. Ретроспективный взгляд должен убедить нас в том, что последовательно проведённый позиционный способ обозначений, имеющий огромные преимущества перед литерным, не должен останавливаться на числах, а должен быть продолжен и на функции: ведь понятие функции

это следующие после числа фундаментальное понятие в математике. И если это не было сделано, то у нас есть все основания утверждать, что либо понятие позиционности не было осознано до конца, либо не извлекаются уроки из истории нашей математической науки. В самом деле, в современной математике в представлении функции f (x) используется позиционность лишь для х, но для f мы продолжаем использовать непозиционные символы. Действительно, те задачи дискретной математики и искусственного интеллекта (логические преобразования, логический вывод, логическое и функциональное программирование и многое другое), которые рассматриваются в теории NP — полноты, используют текст в непозиционной записи. В самом деле, символы логических операций: (конъюнкция), (дизъюнкция), (сложение по модулю два), (функция Вебба), (штрих Шеффера) и другие не изменяют свой смысл от местоположения. Те же расширения системы операций, которые предпринимаются по линии увеличения арности, тоже сохраняют свой литерный характер, а потому не избавляют, и избавить не могут от "комбинационных взрывов ".

Единственный путь - это необходимость расширения принципа позиционности с аргументов функции и на символы этих функций, то есть в осуществлении полной арифметизации функций.

Заметим, что арифметизация К.Гёделя (1906 — 1978), осуществленная им в 1931 году при доказательстве теоремы о неполноте, так же далека от сформулированной выше цели, как системы Архимеда и Аполлония, изложенные в их "Псаммите" и "Быстросчёте" от позиционного представления чисел, но эти аналогии весьма полезны в том плане, что они указывают на новые возможности, которые еще должны быть реализованы.

Необходимость полной арифметизации функций на базе принципа позиционности становится актуальной задачей не только в прикладной (вычислительной) математике, но и для информационных технологий и для разработчиков новых архитектур компьютеров, в особенности с приближением к предельным значениям физических ограничений (скорость, миниатюризация). Проиллюстрируем сказанное на следующих фактах недавней истории.

Как известно [8], общая цель японского проекта - разработать компьютеры более производительные, более гибкие, более компетентные, более интеллектуальные. Решения задач и получение логических выводов — это главная цель системы пятого поколения, которая, кроме всего прочего, должна позволить достигнуть "дружелюбия" по отношению к пользователю.

Теперь мы знаем, что сформулированные цели не были достигнуты в полной мере (срок ввода в строй первого прототипа системы предполагался в 1991 году) и не могли быть достигнуты без соответствующего фундаментального открытия (о нём ниже).

После опубликования проекта (1981 год), он был подвергнут критическому анализу [9,10]. Например, автор знаменитого метода резолюций Дж.Робинсон в публичной лекции, прочитанной в институте ICOT в Токио в 1983 году, указал (см. [10]) в очень мягкой форме, что из намеченного может быть достигнуто, а что — проблематично.

Критика привела к тому, что характер проекта был уточнён и, самое главное, была изменена конечная цель, а именно, указывалось [11], что проект вовсе не предполагает создания по завершении десятилетнего этапа какого-либо коммерческого продукта: его цель - выполнение основных исследований, связанных с разработкой новой технологии компьютеров.

Критика имела сильные доводы. Ко времени создания японского проекта математикам было известно, что на пути создания эффективных методов решения дискретных задач возникает центральная теоретико-методологическая проблема всей дискретной математики: Можно ли исключить перебор при решении дискретных задач? Иначе говоря, речь идёт о принципиальной возможности найти нужное решение не перебирая всех или почти всех. вариантов в задаче. Эта проблема имеет не только чисто математическое, но и глубокое познавательное значение. Прикладная сторона (заметим, что задача логического вывода это задача дискретной математики) этой проблемы такова: в переборных задачах, как правило, имеется конечное множество вариантов, среди которых нужно найти решение. Например, двоичных векторов размерности n имеется 2n и, перебрав это экспоненциальное множество векторов, мы можем найти те вектора, которые удовлетворяют заданному свойству. Но с ростом и число векторов быстро растёт, и задача становится "труднорешаемой", то есть практически неразрешимой. Стало общепринятым считать переборную задачу решаемой эффективно, если имеется алгоритм, решающий ее за время, ограниченное полиномом от размерности задачи.

Таким образом, в указанной выше проблеме главными объектами теории являются: класс NP всех переборных задач и класс P переборных задач, решаемых за полиномиальное время. Относительно классов P и NP имеется целый ряд исследователей, среди которых здесь отметим лишь результаты двух лауреатов премии Тьюринга [12]: С.Кука и P.Kapna.

В 1971 году С.Кук показал в своей основополагающей работе [13], что проблема выполнимости полна в классе NP относительно полиномиальной редукции, или короче, NP полна. Грубо говоря, NP — полные проблемы имеют максимальную трудность среди всех проблем перебора. Отсюда следует, что если проблема выполнимости легка, то любая проблема перебора легка (то есть принадлежит к классу P). Из более точной формулировки теоремы Кука вытекает даже более сильное утверждение, а именно такое: быстрый алгоритм для решения проблемы выполнимости вполне механическим способом приводил бы к быстрой разрешающей процедуре для любой эффективно заданной проблемы перебора. Такой алгоритм служил бы отмычкой к проблемам перебора из всех областей математики.

В 1972 году P.Карп значительно расширил список NP — полных проблем (см. [14]). К настоящему моменту большинство естественно возникающих проблем перебора классифицированы либо как P, либо как NP — полные (см. [15]).

В [15] (на стр. 28) читаем: "Вопрос о том, действительно ли NP— полные задачи труднорешаемы, в настоящее время считается одним из основных открытых вопросов современной математики и теоретической кибернетики. Вопреки готовности большинства специалистов считать, что все NP — полные задачи труднорешаемы, прогресс как в доказательстве., так и в опровержении этого далеко идущего предположения весьма, незначителен. Однако, несмотря на отсутствие доказательства того, что из NP — полноты следует труднорешаемость' NP — полнота задачи означает, что для её решения полиномиальным алгоритмом требуется по крайней мере крупное открытие".

И тем не менее, имеются все основания утверждать, что для того, чтобы NP — полные задачи имели решение полиномиальным алгоритмом, необходимо распространить принцип позиционности и на представления функций, с помощью которых записываются условия NP - полной задачи. В случае задачи выполнимости, к которой сводятся труднорешаемые задачи, это значит, что принцип позиционности должен быть распространён на представления функций алгебры логики.

Арифметизация функций алгебры логики на базе принципа позиционности, то есть разработка позиционного счисления функций и системы исчисления, то есть системы оперирования с функциями в позиционном их представлении, началось в первой половине 1978 года. Первые публикации на эту тему появились лишь в 1981 году. Список [16 — 21] не охватывает всего объема работы: начало исследований отражено в краткой форме в статье [17]. В более развёрнутом виде это сделано в публикациях [16, 18]. Расширение принципа позиционности и его развитие отражено в [19 — 21]. Позднее было показано, что принцип позиционности аналогичным образом распространяется и на функции k-значной и k*m-значной логиках. Но всё же самое главное - осмысление и систематичность, имеющихся к этому времени результатов, составляют излагаемый ниже материал

3 О некоторых целях и полученных результатах

Основная цель проекта сформулирована в книге "Принципы позиционности для счисления и исчисления функций" (работа над которой идёт к завершению) и заключается в разработке системы счисления (системы, позволяющей представлять позиционно функции алгебры логики) и исчисления функций (системы оперирования с функциями в позиционном их представлении). Для начала выяснена роль некоторых фундаментальных понятий и введены такие обозначения и определения, в которых получает естественное отражение принцип позиционности. Затем выбраны функции алгебры логики и для их представления разработана такая система продукций (образующих правил), которая позволяет достаточно просто (с линейной сложностью) записывать классические формулы логики высказываний через позиционные операторы, построенные из продукций. Для выполнения преобразований над позиционными операторами введена система копродукций (это название принято для композиции продукций) и система комбинаторов (комбинаций продукций).

Копродукции и комбинаторы являются расширением системы продукций и позволяют достаточно просто выполнять преобразования над позиционными операторами.

Разработка такой расширенной системы продукций, позволяющей не только записывать позиционные операторы, но и эффективно выполнять преобразования над ними, составляет основное содержание книги и является тем искомым открытием, о котором идет речь в приведенной выше цитате из [ 15 ].

Для такого утверждения имеются достаточно веские основания.

В самом деле, использование лишь дисциплины позиционности позволяет разрабатывать более совершенные алгоритмы для труднорешаемых задач. Например, по разработанным алгоритмам распознавания выполнимости заданной КНФ написаны (и продолжают разрабатываться) различные программы. В частности, программа распознавания выполнимости в наиболее трудных случаях даёт достаточно хорошие результаты. Известно, что для задач ВЫП-3 (ранг всех дизъюнкции КНФ равен 3} при числе переменных и число дизъюнкции КНФ должно быть т = 4.3*n. Если датчик случайных чисел "достаточно хорош", то генерируемая задача с такими n и т, как правило, будет относиться к труднорешаемым. Для указанного случая на IBM РС-100 Mhz Pentium processor приводим в следующей ниже таблице среднее значение времен (по десяти вариантам), затрачиваемых на определение выполнимости:

N
п/п

Переменных

Строк

t
ч.м.с.

1

30

129

0.0.11

2

40

172

0.0.21

3

50

215

0.0.25

4

115

495

0.26.15

5

120

516

0.10.36

6

125

538

0.30.54

7

140

559

1.00.02

8

150

645

1.40.33

Известно, что аналогичные задачи решаются зарубежными коллективами на станциях SUN, но здесь хочется подчеркнуть одно большое принципиальное различие в подходах. Если такие коллективы строят решение, то у нас текст КНФ преобразуется в эквивалентный текст и в конечном результате приводится к некой суперприведённой форме (в случае противоречивости КНФ происходит полное вырождение текста). Из КНФ, приведённой в такой форме, решения извлекаются моментально, так как суперприведение — это такое преобразование КНФ, которое превращает труднорешаемую задачу в эквивалентную ей (то есть сохраняющую выполняющие наборы без приобретения новых) легкорешаемую задачу.

Суперприведение позволяет не только отвечать на вопросы "да ?' или "нет ?', но и при проектировании аппаратуры определять минимальный её объем. Исходный текст задачи выполнимости после его суперприведение может рассматриваться как новый способ решения задачи выполнимости с полным предъявлением, что нельзя добиться, если непосредственно строить выполняющие наборы, так как их может быть очень много.

В практических задачах, где имеется естественная сегментация, посегментное суперприведение может давать совершенно невероятный эффект, позволяя решать задачи очень большой размерности.

Преобразование суперприведенной КНФ в эквивалентную ей ДНФ уже не будет труднорешаемой задачей.

Схемная реализация заданной КНФ и эквивалентной ей суперприведённой КНФ — это "две большие разницы".

Такой перечень может быть продолжен и продолжение скорее зависит от фантазии, чем от возможностей результата суперприведения.

Оценка последствий такого результата в полной мере в настоящее время вряд ли возможна. Можно лишь сказать, что для осуществления многих грандиозных проектов снято главное препятствие. Например, японский проект реализуем в полной мере и даже реализуемы более смелые проекты, которые могут ожидаться.

Одно бесспорно. Тематика научных исследований должна резко измениться. Должна измениться концепция, лежащая в основе проектирования, как элементной базы компьютеров, так и самих компьютеров. Должна измениться концепция языков программирования в том плане, что такие языки станут языками компьютеров и будут отчуждены от человека. Они в свой состав, я н деюсь, будут включать как один из важных элементов: позиционны язык операторов, излагаемый в книге.

И, наконец, самое глав е. Эта книга, содержащая позиционный язык счисления и исчисления операторов и позволяющая решать указанные выше задачи, не является последним словом в развитии позиционности, а скорее это лишь начало. А для того, чтобы это было действительно началом, надо полученные результаты усвоить и распространить, а книга должна этому способствовать.

Литература

[1] Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Происхождение систем счисления /В кн. Энциклопедия элементарной математики", кн. 1: Арифметика. М. — Л. 1951, с. 11 — 74.

[2] Остроградский М.В. Педагогическое наследие: Документы о жизни и деятельности. М.: Физматгиз, 1961, 399 с.

[3] Ван дер Варден В.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: ГИФМЛ, 1959.

[4] Битюцков В.И. Цифры / В кн. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988, с. 626 — 627.

[5] Нечаев В.И. Счисление, нумерация / В кн. Математическая энциклопедия.— М.: Советская энциклопедия, 1985, т. 5, с. 314 — 316.

[61 Архимед. Сочинения. — М.: Физматгиз, 1962.
[7] Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, 560 с.
[8] ЭВМ пятого поколения: Концепции, проблемы, перспективы / Под ред. Т.Мотоока; Пер. с англ.; Предисл. Е.П.Велихова. — М.: Финансы и статистика, 1984, 110 с.

[9] Симонс Дж. ЭВМ пятого поколения: компьютеры 90-х годов: Пер. с англ. — М.: Финансы и статистика, 1985, 173 с.

[10] Робинсон Дж. Логическое программирование прошлое, настоящее и будущее. / В кн. Логическое программирование: Пер. с англ. и фр. — М.: Мир, 1988, с. 7 — 26.

[11] Фути К. К вычислительным системам пятого поколения. / В кн. Язык Пролог в пятом поколении ЭВМ: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988, с. 7 — 16.

[12] Лекции лауреатов премии Тьюринга за первые двадцать лет: Пер.- с англ. — М.: Мир, 1993, 560 с.

[13] Кук С.А. Сложность процедур вывода теорем. — Киб. сб. нов. сер., вып. 12. — М.: Мир, 1975, с. 5 — 15.

[14] Карп Р.М. Сводимость комбинационных задач. — Киб. сб. нов. сер., вып. 12. — М.: Мир, 1975, с. 16 — 38.

[15] Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982, 416 с.

[16] Тельпиз М.И. Позиционные принципы представления функций алгебры логики. Препринт. — АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", М.: 1984, 76 с.

[17] Тельпиз М.И. Представления функций алгебры логики. — Кибернетика. Киев: 1985, N 4, с. 37 — 40, 51.

[18] Тельпиз М.И. Позиционные операторы и преобразования в алгебре логики. Препринт. — АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", М.: 1985, 60 с.

[19] Тельпиз М.И. Алгебра позиционных операторов и эквивалентных

преобразований. Препринт. — АН СССР. Научный совет по комплексной проблеме "Кибернетика", М.: 1988, 64 с.

[20] Тельпиз М.И., Демидчик С.М., Щербанский Л.М. Принцип позиционности в трёхзначной алгебре логики. Пр. — 1436. ИКИ АН СССР,
М.: 1988, 20 с.

[21] Тельпиз М.И. Позиционные фундаментальные симметрические операторы и задачи логического распознавания. Пр. — 1601. ИКИ АН
СССР, М.: 1989, 72 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-