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(34a) La Distancia al Punto L1

 Usando las herramientas de las secciones (20) y (21), las matemáticas de soluciones aproximadas desarrolladas en (M-5), y asumiendo que todas las órbitas son círculos, es relativamente sencillo calcular la distancia al punto Lagrangiano L1 (o al L2). Comenzamos repitiendo la derivación de la 3ª Ley de Kepler para órbitas circulares. 
      Nota: Los formatos disponibles en la world-wide web requieren que todas las fracciones sean representadas mediante barras. Puede ser una buena idea copiarlas (cuando las vaya encontrando en el texto) en una hoja de papel, usando los signos convencionales, lo que dará una forma más familiar al cálculo.

 Denominemos G a la constante gravitacional, M a la masa del Sol, m a la de la Tierra, r a la distancia entre la Tierra y el Sol y v a la velocidad en su órbita. Aplicando lo sabido sobre fuerzas centrífugas y centrípetas, obtendremos (como en la sección (20))

GMm/r2  =  mv2/r

y multiplicando ambos lados de la igualdad por r/m

GM/r  =  v2

 Si T es el período orbital, y como la distancia cubierta por la Tierra en cada órbita es 2πr,

vT = 2π r

Dividido por T

v = 2π r/T

Elevando al cuadrado:

v2 = 4π2r2/T2

y sustituyendo

GM/ r  = 4π2r2/T2

Dividimos ambos lados por r2:

GM/ r3  = 4π2/T2

de lo cual deducimos la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares (solamente multiplicando ambos lados por r3T2).

   Considere ahora a msc la masa de un vehículo espacial localizado en la línea que conecta la Tierra y el Sol, situado entre los dos, a una distancia R de la Tierra y a una (r-R) del Sol (dibujo). La fuerza F que lo atrae hacia el Sol está contrarrestada por la atracción de la Tierra en la dirección opuesta, así que

F = GMmsc /(r-R)2 – Gmmsc /R2

  Dado que este vehículo también se mueve en un círculo alrededor del Sol, con una velocidad vsc . Entonces, si la fuerza centrífuga equilibra la atracción (o de otra manera, la atracción suple a la fuerza centrípeta)

GMmsc /(r-R)2 – Gmmsc /R2  =  msc vsc 2/(r-R)

De forma similar al cálculo anterior, se multiplican ambos lados por (r-R)/msc , dando

GM/(r-R) – Gm(r-R)/R2  =  (vsc )2

También asumimos que el vehículo se mueve en un círculo alrededor del Sol, de radio (r-R). (Por supuesto que esto requiere que la Tierra esté siempre en su sitio para atraerlo en la dirección opuesta a la del Sol, un asunto que trataremos pronto). El período orbital Tsc del satélite satisface, como antes

vsc Tsc  = 2π(r-R)

de donde

(vsc )2 = 4π2(r-R)2/(Tsc )2

Luego obtendremos

GM/(r-R) – Gm(r-R)/R2  =  4π2(r-R)2/(Tsc )2

dividiendo todo por (r-R)2

GM/(r-R)3 – Gm/R2(r-R)  =  4π2/(Tsc )2

que se asemeja a la anterior ecuación de la "3ª ley", excepto que ahora está añadida la atracción opuesta de la Tierra. Pero, ¿estará siempre la tierra ubicada donde su atracción sobre el satélite sea exactamente la opuesta a la del Sol?. No, a menos que los dos períodos orbitales sean iguales:

Tsc  = T

Solo entonces el movimiento del vehículo se empareja con el de la Tierra y la distancia entre ambos permanece constante. Esto solo ocurre, en general, para un valor de R, esto es, solo a una distancia desde la Tierra, y esa distancia, R, es el número desconocido que necesitamos deducir, el "objeto" que estamos buscando. Si Tsc  = T, las dos relaciones con  2/T2 en la parte derecha son iguales entre si, esto nos proporciona una ecuación a partir de la que podemos deducir R . Esa ecuación es

GM/(r-R)3 – Gm/R2(r-R)  =  GM/r3

  Si dividimos ambos lados por GM: G desaparece de la escena, y en lugar de las masas (m,M) del Sol y la Tierra, tenemos solo su relación, un número pequeño que denominaremos y

y = m/M = 3/1,000,000

o en notación científica 

y = m/M = 3/106   (ó 3.10-6)

La ecuación es ahora

1/(r-R)3 – y/R2(r-R)  =  1/r3

  Puede aún simplificarse más. En lugar de trabajar con r y R, déjenme introducir su relación z = R/r, que es también un número pequeño, dado que el vehículo está siempre más cerca de la Tierra que del Sol. Para hacer eso, multiplique ambos lados por r3, que se puede también conseguir dividiendo por  r3 los denominadores de ambos lados. El resultado:

1/(1-z)3 – y/z2(1-z) = 1 

  Ahora estamos listos para deducir la cantidad desconocida z. La fórmula superior es complicada, de hecho, probablemente no existe una fórmula exacta para su solución. No obstante, como z es pequeño, es más bien fácil obtener una solución aproximada usando los métodos de la sección (M-5). Allí fueron mostrados como

1/(1-z)3  ~  1 + 3z

y
[y/z2]/(1-z)  ~  [y/z2] (1+z) 

Substituyendo estas aproximaciones en la ecuación principal nos da

1 + 3z – [y/z2] (1+z)  ~  1

Desde esta
3z  ~  [y/z2] (1+z)
y por lo tanto
3z3  ~  y(1+z)

  Ambos lados son ahora igual de pequeños. El lado de la derecha está ligeramente modificado con la suma de z: podemos prescindir de este término sin obtener una gran diferencia. Luego

3z3  ~  y  =  3/1,000,000

z3  ~  1/1,000,000

Calculando la raíz cúbica 

R/r = z  ~  1/100 = 0.01

  Luego, la distancia a L1 es aproximadamente 0.01 de la distancia al Sol. Ahora es posible regresar hacia ecuaciones más exactas, como 3z3 ~ y(1+z), y reemplazar la z de la derecha por su valor aproximado de 0.01, para obtener unas soluciones más precisas mediante un proceso de progresión gradual, llamado iteración, también usado con la ecuación de Kepler planteada en la sección (12a). Debido a la pequeñez de z, con las modificaciones hechas aquí se obtiene poca diferencia.

   El cálculo de la distancia del punto L2 en el lado oscuro es muy similar, así como su resultado. En este caso las ecuaciones conciernen a r+R más que a  r-R, y en la ecuación de F  los términos son sumados en vez de restados, porque ahora el Sol y la Tierra ejercen la atracción en la misma dirección. ¡Compruébelo!
 


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Author and Curator:   Dr. David P. Stern
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Spanish translation by J. Méndez

Last updated 13 December 2001